大礼包

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10.25 每日一题

传送门：https://leetcode-cn.com/problems/shopping-offers/

Problem

在 LeetCode 商店中， 有 n 件在售的物品。每件物品都有对应的价格。然而，也有一些大礼包，每个大礼包以优惠的价格捆绑销售一组物品。

给你一个整数数组 price 表示物品价格，其中 price[i] 是第 i 件物品的价格。另有一个整数数组 needs 表示购物清单，其中 needs[i] 是需要购买第 i 件物品的数量。

还有一个数组 special 表示大礼包，special[i] 的长度为 n + 1 ，其中 special[i][j] 表示第 i 个大礼包中内含第 j 件物品的数量，且 special[i][n] （也就是数组中的最后一个整数）为第 i 个大礼包的价格。

返回 确切 满足购物清单所需花费的最低价格，你可以充分利用大礼包的优惠活动。你不能购买超出购物清单指定数量的物品，即使那样会降低整体价格。任意大礼包可无限次购买。

示例 1：

输入：price = [2,5], special = [[3,0,5],[1,2,10]], needs = [3,2]
输出：14
解释：有 A 和 B 两种物品，价格分别为 ¥2 和 ¥5 。 
大礼包 1 ，你可以以 ¥5 的价格购买 3A 和 0B 。 
大礼包 2 ，你可以以 ¥10 的价格购买 1A 和 2B 。 
需要购买 3 个 A 和 2 个 B ， 所以付 ¥10 购买 1A 和 2B（大礼包 2），以及 ¥4 购买 2A 。

示例 2：

输入：price = [2,3,4], special = [[1,1,0,4],[2,2,1,9]], needs = [1,2,1]
输出：11
解释：A ，B ，C 的价格分别为 ¥2 ，¥3 ，¥4 。
可以用 ¥4 购买 1A 和 1B ，也可以用 ¥9 购买 2A ，2B 和 1C 。 
需要买 1A ，2B 和 1C ，所以付 ¥4 买 1A 和 1B（大礼包 1），以及 ¥3 购买 1B ， ¥4 购买 1C 。 
不可以购买超出待购清单的物品，尽管购买大礼包 2 更加便宜。

提示：

• n == price.length
• n == needs.length
• 1 <= n <= 6
• 0 <= price[i] <= 10
• 0 <= needs[i] <= 10
• 1 <= special.length <= 100
• special[i].length == n + 1
• 0 <= special[i][j] <= 50

思路

如果不考虑大礼包的话需要花费的总价是固定的，所以在考虑大礼包的时候，如果发现选购某个大礼包会使花费的总价减少，就可以更新总价。

因为没有一种贪心策略，所以只能$dfs$搜索。用$needs$来记录还需要购买的物品集合，$_cache$来记录当前$needs$集合花费的钱的最小值。

程序

class Solution {
public:
    // 记录每一个need的最小价格
    map<vector<int>,int> _cache;

    int shoppingOffers(vector<int>& price, vector<vector<int>>& special, vector<int>& needs) {
        // needs：还需要购买的物品
        return dfs(needs,price,special);
    }

    int dfs(vector<int>& needs,vector<int>& price,vector<vector<int>>& special){
        // 子问题计算过，直接返回
        if(_cache[needs]){
            return _cache[needs];    
        }
        int ans=0;
        // 直接买，不用礼包
        for(int i=0;i<needs.size();i++){
            ans+=needs[i]*price[i];
        }

        // 遍历每个礼包，依次尝试，看看有没有更便宜的价格
        for(int i=0;i<special.size();i++){
            vector<int> next=needs;
            bool valid=true;
            // 题目要求购买数量为needs，不能超过
            // 检查needs中每一件物品，都不能超过
            for(int item=0;item<price.size();item++){
                // 会超过，不符合题意
                if(special[i][item]>needs[item]){
                    valid=false;
                    break;
                }
            }
            if(!valid){
                continue;
            }
            // next记录买过大礼包之后，每件物品还需要多少件
            for(int item=0;item<price.size();item++){
                next[item]-=special[i][item];
            }
            ans=min(ans,dfs(next,price,special)+special[i][price.size()]);
        }
        _cache[needs]=ans;
        return ans;
    }
};

时间复杂度：$O(knm^n)$，$k$表示大礼包数量，$n$表示需要多少种物品，$m$表示每种物品的需求量的可能数（0-最大需求量）即最大需求量+1。$needs$最多$m^n$种状态，对每个状态需要遍历所有大礼包，每个大礼包需要遍历所有物品。

空间复杂度：$O(nm^n)$，$needs$最多$m^n$种状态，每种状态需要存储$n$个物品。