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6.9 每日一题
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Problem
集团里有 n 名员工，他们可以完成各种各样的工作创造利润。
第 i 种工作会产生 profit[i] 的利润，它要求 group[i] 名成员共同参与。如果成员参与了其中一项工作，就不能参与另一项工作。
工作的任何至少产生 minProfit 利润的子集称为 盈利计划 。并且工作的成员总数最多为 n 。
有多少种计划可以选择？因为答案很大，所以 返回结果模 10^9 + 7 的值。
示例
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| 输入：n = 5, minProfit = 3, group = [2,2], profit = [2,3]
输出：2
解释：至少产生 3 的利润，该集团可以完成工作 0 和工作 1 ，或仅完成工作 1 。
总的来说，有两种计划。
输入：n = 10, minProfit = 5, group = [2,3,5], profit = [6,7,8]
输出：7
解释：至少产生 5 的利润，只要完成其中一种工作就行，所以该集团可以完成任何工作。
有 7 种可能的计划：(0)，(1)，(2)，(0,1)，(0,2)，(1,2)，以及 (0,1,2) 。
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数据范围
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| 1 <= n <= 100
0 <= minProfit <= 100
1 <= group.length <= 100
1 <= group[i] <= 100
profit.length == group.length
0 <= profit[i] <= 100
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思路
三维$dp$，考虑为什么用三维，首先考虑前$i$个员工，成员数限制（类似背包问题的体积），利润（类似背包问题价值），属性是方法种数，很自然就会想到三维。
f[i][j][k]: 考虑前i种工作，代价恰好为j，获得至少利润k的方法种数。
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| class Solution {
public:
int profitableSchemes(int n, int minProfit, vector<int>& group, vector<int>& profit) {
int sum=0;
int count=0;
for(int i=0;i<profit.size();i++){
sum+=profit[i];
}
const int mod = 1e9+7;
int f[101][101][101];
f[0][0][0]=1;
for(int i=1;i<=group.size();i++){
for(int j=0;j<=n;j++){
for(int k=0;k<=minProfit;k++){
f[i][j][k]=f[i-1][j][k];
if(j>=group[i-1]){
f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-1][j-group[i-1]][max(0,k-profit[i-1])])%mod;
}
}
}
}
for(int i=0;i<=n;i++){
count=(count+f[group.size()][i][minProfit])%mod;
}
return count;
}
};
|
f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-1][j-group[i-1]][max(0,k-profit[i-1])])%mod;当中max(0,k-profit[i-1])其实相当于
if((k-profit[i-1])>=0)，f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-1][j-group[i-1]][k-profit[i-1]])%mod;
else，f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-1][j-group[i-1]][0])%mod;
另一种写法：
f[i][j][k]: 考虑前i种工作，代价至多为j，获得至少利润k的方法种数。
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| class Solution {
public:
int profitableSchemes(int n, int minProfit, vector<int>& group, vector<int>& profit) {
int sum=0;
int count=0;
for(int i=0;i<profit.size();i++){
sum+=profit[i];
}
const int mod = 1e9+7;
int f[101][101][101];
for(int i=0;i<=group.size();i++){
for(int j=0;j<=n;j++){
f[i][j][0]=1;
}
}
for(int i=1;i<=group.size();i++){
for(int j=0;j<=n;j++){
for(int k=0;k<=minProfit;k++){
f[i][j][k]=f[i-1][j][k];
if(j>=group[i-1]){
f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-1][j-group[i-1]][max(0,k-profit[i-1])])%mod;
}
}
}
}
return f[group.size()][n][minProfit]%mod;
}
};
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$dp$数组要根据具体意义来初始化。
还可以优化到二维，类似01背包。
