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6.8 每日一题
传送门：https://leetcode-cn.com/problems/last-stone-weight-ii/
Problem
有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。
每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：
- 如果
x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
- 如果
x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。
最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。
示例
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| 输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。
|
1
2
| 输入：stones = [31,26,33,21,40]
输出：5
|
数据范围
1
2
| 1 <= stones.length <= 30
1 <= stones[i] <= 100
|
思路
思考对于粉碎的两个石头，粉碎后的石头重量为$stones[i]-stones[j]$，用这个石头与$stones[k]$来粉碎，假设$stones[k]>(stones[i]-stones[j])$，粉碎后的结果为$stones[k]-stones[i]+stones[j]$。
粉碎的本质就是给$stones$数组中每个数前面加+ 和-。
题意转化为给$stones$数组中每个数前面加+ 和-，使得最后结果的绝对值最小。
记$stones$数组的和为$sum$，前面加-的数字的和为$neg$，$ans=sum-2*neg$，要使$ans$绝对值小，即$neg$取小于等于$sum/2$的最大的值。
题意转化为从$stones$数组中找若干个数，使得若干个数的和（代价，类似01背包中的体积）在满足不超过$sum/2$的条件下最大。
到这就是裸的01背包。
有几种dp的写法：
第一种
状态表示：
dp[i][j]
集合：从前$i$个数中取，代价（和）不超过$j$的取法。
属性：和的最大值。
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| class Solution {
public:
int dp[30001];
int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
int sum=0;
for(int i=0;i<stones.size();i++){
sum+=stones[i];
}
int ans=sum/2;
for(int i=1;i<=stones.size();i++){
for(int j=ans;j>=stones[i-1];j--){
dp[j]=max(dp[j],dp[j-stones[i-1]]+stones[i-1]);
}
}
return sum-2*dp[ans];
}
};
|
第二种
状态表示：
dp[i][j]
集合：从前$i$个数中取，得到总和为$j$的取法。
属性：数量。
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| class Solution {
public:
int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
int sum=0;
for(int i=0;i<stones.size();i++){
sum+=stones[i];
}
int ans=sum/2;
int f[31][1501];
f[0][0]=1;
for(int i=1;i<=stones.size();i++){
for(int j=0;j<=ans;j++){
f[i][j]=f[i-1][j];
if(j>=stones[i-1]){
f[i][j]=f[i][j]+f[i-1][j-stones[i-1]];
}
}
}
int neg=0;
for(int i=ans;i>=0;i--){
if(f[stones.size()][i]>0){
neg=i;
break;
}
}
return sum-2*neg;
}
};
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第三种
状态表示：
dp[i][j]
集合：从前$i$个数中取，得到总和为$j$的取法。
属性：0或1代表是否能够有这种取法。
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| class Solution {
public:
int f[30001];
int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
int sum=0;
for(int i=0;i<stones.size();i++){
sum+=stones[i];
}
cout<<sum<<endl;
int tmp=sum/2;
f[0]=1;
for(int i=1;i<=stones.size();i++){
for(int j=tmp;j>=stones[i-1];j--){
f[j]=max(f[j],f[j-stones[i-1]]);
}
}
for(int i=tmp;i>=0;i--){
if(f[i]!=0){
cout<<i<<endl;
return sum-2*i;
}
}
return 0;
}
};
|
